Решение:
1. Найдем плотность распределения.
плотность распределения и функция распределения случайной величины связаны соотношением $$F'(x) = p(x)$$ Плотность равна \(p(x) = F'(x) = \cos(x)\) при \(x \in[ 0;\frac{\pi}{2}] \) и \(p(x) = F'(x) = 0\) при \(x \ne [ 0;\frac{\pi}{2}] \). Получили следующую функцию плотности распределения $$\begin{cases} 0, \text{ при } x < 0 \\ \cos(x), \text{ при } x \in [0;\frac{\pi}{2}]\\ 0, \text{ при } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$$
2. Найдем математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины X будем искать по формуле $$M(X) = \int_a^bxp(x)dx$$ Получаем $$M(X) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)dx$$ интеграл найдем методом интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \(u = x => dv = dx; \quad dv = \cos(x)dx => v = \sin(x)\) подставляем в формулу интегрирования по частям $$M(X) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)dx = x\sin(x)|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)dx = $$$$ = x\sin(x)|_0^{\frac{\pi}{2}} + \cos(x)|_0^{\frac{\pi}{2}} = x\sin(x) + \cos(x)|_0^{\frac{\pi}{2}} = $$$$ = \frac{\pi}{2}*1 + 0 - 0 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1$$$$M(X) = \frac{\pi}{2} - 1$$
3. Найдем дисперсию случайной величины.
Дисперсия случайной величины \(X\), все значения которой принадлежат отрезку \([a,b]\) определяется формулой $$D(X) = \int_a^b(x-M(x))^2p(x)dx = \int_a^bx^2p(x)dx - (M(X))^2$$ Получаем $$D(X) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos(x)dx-(\frac{\pi}{2} - 1)^2 =$$ для нахождения интеграла дважды применим формулу интегрирования по частям $$ = x^2\sin(x) - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin(x)dx-(\frac{\pi}{2} - 1)^2 = $$$$x^2\sin(x) - 2(-x\cos(x) + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx)-(\frac{\pi}{2} - 1)^2 = $$$$ = x^2\sin(x) + 2x\cos(x) - 2\sin(x)|_0^{\frac{\pi}{2}}-(\frac{\pi}{2} - 1)^2 =$$$$ = (\frac{\pi}{2})^2 + 0 - 2 - 0 - 0 + 0 -(\frac{\pi}{2} - 1)^2 = $$$$ = \frac{\pi^2}{4} -2 - \frac{\pi^2}{4} +2\frac{\pi}{2} - 1 = $$$$ = 2\frac{\pi}{2} - 3 = \pi - 3$$$$D(X) = \pi - 3$$
