Найдем несобственный интеграл: \( \int_0^1 \frac{x^3dx}{\sqrt[4]{1-x^4}} \)
Решение: если функция \(f(x)\) определена при \( a \leq x \leq b\), интегрирована на любом отрезке \([a;b-\epsilon), \quad 0 < \epsilon < b-a \) и ограничена в точке \(b\), тогда предел $$\int_a^{b - \epsilon}f(x)dx$$ при \(\epsilon \to 0\) называется несобственным интегралом второго рода: $$\int_a^bf(x) = \lim_{x \to \epsilon}\int_a^{b-\epsilon}f(x)dx$$
Исходя из определения несобственного интеграла второго рода, вычислим интеграл $$ \int_0^1 \frac{x^3dx}{\sqrt[4]{1-x^4}} = $$ Подынтегральная функция неограниченна в окрестности точки \(x =1 \), но она непрерывна и интегрирована на отрезке \( [0; 1-\epsilon)\). В соответствии с определением получаем $$ = \lim_{\epsilon \to 0}\int_0^{1 -\epsilon} \int_0^1 \frac{x^3dx}{\sqrt[4]{1-x^4}} = $$ Применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(1-x^4 = t => x^3dx = -\frac{1}{4}dt\), пересчитаем границы интегрирования \(x = 0 => t = 1; \quad x = 1 => t = 0 \), получаем $$ = -\frac{1}{4} \lim_{\epsilon \to 0}\int_1^{0+\epsilon}\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}dt = -\frac{1}{4} \lim_{\epsilon \to 0}\int_{0+\epsilon}^1\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}dt$$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{1}{4}\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{1-\frac{1}{4}}t^{1-\frac{1}{4}}|_{0+ \epsilon}^1 = \frac{1}{4} \frac{4}{3}\lim_{\epsilon \to 0} t^{\frac{3}{4}}|_{0+ \epsilon}^1= $$$$ =\frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}$$
Ответ: \( \int_0^1 \frac{x^3dx}{\sqrt[4]{1-x^4}} = \frac{1}{3} \)
