Найдем интеграл: \( \int\cos^2(x) \sin^4(x) dx \)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\), где \(m;n\) четные, действительно, где \(n = 2; m = 4\). Интегралы этого вида решаются методом понижения степени, т.е. путем применения тригонометрических формул \( \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}; \quad \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}; \quad \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\), получим $$ \int \cos^2(x) \sin^4(x) dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}(\frac{1-\cos(2x)}{2})^2 dx = $$применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)$$ = \frac{1}{8}\int (1-\cos^2(2x))(1-\cos(2x))dx = \frac{1}{8}\int \sin^2(2x)(1-\cos(2x))dx$$повторно применим формулу понижения степени синуса $$ = \frac{1}{8}\int \frac{1-\cos(4x)}{2}(1-\cos(2x))dx = \frac{1}{16}\int (1 - \cos(2x) - \cos(4x) + \cos(4x)\cos(2x))dx = $$ применим формулу произведения косинусов \(\cos(x)\cos(y) = \frac{\cos(x+y) + \cos(x-y)}{2}\), получаем $$ = \frac{1}{16}\int (1 - \cos(2x) - \cos(4x) + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2})dx = \frac{1}{16}\int (1 - \frac{1}{2}\cos(2x) - \cos(4x) + \frac{1}{2}\cos(6x))dx =$$ применяем формулу табличного интеграла косинуса \( \int \cos(ax)dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\), получаем $$ = \frac{1}{16}(x + \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x) + \frac{1}{12}\sin(6x)) + C = \frac{1}{192}(12x - 3\sin(2x) - 3\sin(4x) + \sin(6x)) + C$$
Ответ: \( \int\cos^2(x) \sin^4(x) dx = \frac{1}{192}(12x - 3\sin(2x) - 3\sin(4x) + \sin(6x)) + C \)
