Решение: найдем интеграл \( \int \frac{\arcsin(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx \)
применим метод замены независимой переменной.
Введем замену \(\arcsin(x) = t =>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = dt\), подставляем $$ \int \frac{\arcsin(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int (t+1)dt =$$ применяем формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{1+a}x^{1+a} +C\) $$ =\frac{t^2}{2} + t+ C$$ применяем обратную замену $$ =\frac{\arcsin^2(x)}{2} + \arcsin(x)+ C $$
Ответ: \( \int \frac{\arcsin(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{\arcsin^2(x)}{2} + \arcsin(x)+ C\)
