Найти экстремумы функции двух переменных $$z=x^2-4x*\sqrt{y}-2x+5y$$

Ищем экстремумы функции двух переменных $$ z=x^2-4x*\sqrt{y}-2x+5y $$
Решение:
1. находим частные производные
$$z'_x = (x^2-4x*\sqrt{y}-2x+5y)'_x = 2x-4\sqrt{y}-2$$
$$z'_y = (x^2-4x*\sqrt{y}-2x+5y)'_y = -\frac{2x}{\sqrt{y}}+5 $$
2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$ \begin{cases}  2x-4\sqrt{y}-2 = 0 \\  -\frac{2x}{\sqrt{y}}+5 = 0 \end{cases} => \begin{cases} 5 \sqrt{y}-4\sqrt{y}-2 = 0 \\ x = \frac{5}{2}\sqrt{y} \end{cases} $$$$ \begin{cases} y = 4 \\ x = 5 \end{cases} $$ Получили стационарную точку \(A(5; 4)\).
3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (2x-4\sqrt{y}-2)'_x = 2$$
$$a_{12} = z''_{xy} =(2x-4\sqrt{y}-2)'_y = -\frac{2}{\sqrt{y}}$$
$$a_{22} = z''_{y^2} = (-\frac{2x}{\sqrt{y}}+5)'_y = \frac{x}{y^{\frac{3}{2}}}$$
3. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = 2 \frac{x}{y^{\frac{3}{2}}} -  ( -\frac{2}{\sqrt{y}})^2 = 2 \frac{x}{y^{\frac{3}{2}}} -  \frac{4}{y} = \frac{2(x-2\sqrt{y})}{y^{\frac{3}{2}}}$$
рассчитаем значение определителя для точки
для точки \(A(5; 4)\) получаем \(Δ_{xy} =  \frac{2(x-2\sqrt{y})}{y^{\frac{3}{2}}} = 0.25 >  0; \quad a_{11}  = 2 >  0; \quad a_{22}  = \frac{x}{y^{\frac{3}{2}}}  > 0 \)

4. анализируем каждую точку
для точки  \(A(5; 4)\) рассчитываем \(Δ_{xy}  > 0 \quad a_{11} > 0; \quad a_{22} > 0 \) - получили экстремум минимум.
определим значение функции в точках минимума \(z(5;4) = x^2-4x*\sqrt{y}-2x+5y = -5\)
Ответ: функция имеет экстремум минимум с координатами \((5;4;-5)\)