Найти экстремумы функции двух переменных: $$z=-2x^3+3x\sqrt{y}+18x-1,5y$$

Ищем экстремумы функции двух переменных $$ z=-2x^3+3x\sqrt{y}+18x-1.5y $$
Решение:
1. находим частные производные
$$z'_x = (-2x^3+3x(\sqrt{y}))+18x-1.5y)'_x = -6x^2 +3\sqrt{y} +18$$
$$z'_y = (-2x^3+3x(\sqrt{y}))+18x-1.5y)'_y = \frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5 $$
2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$\begin{cases} -6x^2 +3\sqrt{y} +18 = 0 \\  \frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5 = 0 \end{cases} => \begin{cases}  2( \sqrt{y})^2 -\sqrt{y} -6 = 0 \\ x = \sqrt{y} \end{cases} $$$$ \begin{cases}  \sqrt{y}_1 = 2; \quad \sqrt{y}_2 = -\frac{3}{2} \\ x = \sqrt{y} \end{cases} => \begin{cases}  y = 4; \\ x = 2 \end{cases} $$ Получили стационарную точку \(A(2; 4)\).
3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (6x^2 +3\sqrt{y} +18)'_x = 12x$$$$a_{12} = z''_{xy} =(6x^2 +3\sqrt{y} +18)'_y = \frac{3}{2\sqrt{y}}$$$$a_{22} = z''_{y^2} = (\frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5)'_y = -\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}}$$
4. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = 12x(-\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}}) -  ( \frac{3}{2\sqrt{y}})^2 = -\frac{9x^2}{y^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4y} = -\frac{9}{y}(\frac{4x^2+\sqrt{y}}{4y^{\frac{3}{2}}})$$
рассчитаем значение определителя для точки
для точки \(A(2; 4)\) получаем \(Δ_{xy} =  -\frac{9}{y}(\frac{4x^2+\sqrt{y}}{4y^{\frac{3}{2}}})  <  0; \quad a_{11}  = 12x  = 24 >  0; \quad a_{22}  = -\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}}  < 0 \)

5. анализируем точку  \(A(2; 4)\)
для точки  \(A(2; 4)\) получили  \(Δ_{xy}  < 0  \) - в этой точке экстремума нет.
Ответ: функция не имеет экстремумов