Исследуем функцию \( y= \frac{e^{x-2}}{x-2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x-2 \ne 0 => x \ne 2 \). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 2) \cup ( 2 ;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва \( x=2 \)
исследуем точку \( x= 2 \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 2^{+0}} \frac{e^{x-2}}{x-2} = + \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 2^{-0}} \frac{e^{x-2}}{x-2}= - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 2 \) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{e^{-x-2}}{-x-2} \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{e^{x-2}}{x-2} = 0 => \). Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox, поэтому определим знак функции на ОДЗ
интервал \((-\infty; 2) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = \frac{e^{x-2}}{x-2} < 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((2; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{e^{x-2}}{x-2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{e^{x-2}}{x-2} = -\frac{1}{2e^2} \approx 0.07\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; -\frac{1}{2e^2} )\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{e^{x-2}}{x-2} )'= \frac{e^{x-2}(x-2) -e^{x-2} }{(x-2)^2} = $$$$ = e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2} $$ приравняем к 0 $$ e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2} =0 => x=3$$ функция имеет критическую (стационарную) точку.
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку она делят ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = 3\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((3; e)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2})'= e^{x-2}\frac{x-3}{(x-2)^2} + e^{x-2}\frac{(x-2)^2 - 2(x-3)(x-2)}{(x-2)^2} = $$$$ = e^{x-2}\frac{(x-3)(x-2) + (x-2) - 2(x-3)}{(x-2)^3} = e^{x-2}\frac{x^2 - 6x + 10}{(x-2)^3}$$ Приравняем к нулю $$ e^{x-2}\frac{x^2 - 6x + 10}{(x-2)^3} = 0 => $$ при всех \(x\) производная не равна 0,т.е. нет точек перегиба.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ.
интервал \((-\infty; 2)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-3) = e^{x-2}\frac{x^2 - 6x + 10}{(x-2)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 2; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = e^{x-2}\frac{x^2 - 6x + 10}{(x-2)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которой вторая производная равна нулю - точек возможного перегиба, т.е нет точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 2\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = \frac{e^{x-2}}{x-2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{e^{x-2}}{x-2} = +\infty => k= +\infty$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = +\infty\) функция наклонной асимптоты не имеет.
Наклонной асимптоты нет
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to +\infty}\frac{e^{x-2}}{x-2} = +\infty $$
$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{e^{x-2}}{x-2} = 0 $$
Уравнение горизонтальной асимптоты \(y= 0\) при \(x \in (-\infty; 2)\).
Определим, с какой стороны приближается график функции к горизонтальной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x-2}}{x-2} = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
