1) наугад называется одно из первых восемнадцати чисел. Событие А - названо четное число, событие В

Решение: полной группой событий является множество чисел \({1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}\)
Событие \(A\) - названо четное число - множество \({2,4,6,8,10,12,14,16,18}\) -  9 чисел
Событие \(B\) - названо число, кратное 3 - множество \({3,6,9,12,15,18}\) -  6 чисел
1) Перечислим элементарные исходы испытания, благоприятствующие событию

1.  \(A+B\) - соответствует множество исходов равное объединению множеств событий \(A\) и \(B\), получаем \(A+B = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18}\)


2.  \(AB\) - соответствует множество исходов равное пересечению множеств исходов событий \(A\) и \(B\), получаем \(AB = {6,12,18}\)


3.  \(A\) - соответствует множество исходов  \({2,4,6,8,10,12,14,16,18}\)


4.  \(B\) - соответствует множество исходов  \({3,6,9,12,15,18}\)

2) Брошены 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на первой кости выпало число 4, а на второй - нечетное число?
Найдем вероятности того, что

1. На первой кости выпало число 4. Вероятность будем находить по формуле классического определения вероятности \(P = \frac{m}{n} \), где \(n\) - число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, а \(m\) - количество благоприятствующих событию исходов.
   \(n = 6\) - число граней кубика,
   \(m = 1\) - число 4, один исход,
   вероятность равна $$p = \frac{1}{6}$$


2. На второй кости выпало нечетное число. Множество исходов нечетных чисел на кубике \({1,3,5}\)  - при исхода \(m = 3\),
   вероятность равна $$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$


3. Вероятность того, что на первом кубике выпало число 4, а на втором нечетное число будем искать по формуле произведения вероятностей \(P(AB) = P(A)*P(B)\), получаем $$P = \frac{1}{6}*\frac{1}{2} = \frac{1}{12}$$

3) Вероятность попадания по цели при одном выстреле у первого орудия равна 0.6, у второго - 0,7. Найти вероятность того, что по цели попадет хотя бы одно орудие после того, как оба сделают по одному выстрелу
Хотя бы одно попадание в цель подразумевает попадание один и более раз,т.е. в нашем случае один и два раза.
Задачу можно решать двумя методами
1. Найдем вероятность попадания в цель более одного раза.
Пусть событие \(A_1\) - в цель попали при первом выстреле, а
событие \(\overline{A_1}\) - в цель не попали при одном выстреле, тогда возможны три исхода
\(A_1\overline{A_2}\) - при первом выстреле попали, а при втором нет
\(\overline{A_1}A_2\) - при первом выстреле не попали, а при втором попади
\(A_1A_2\) - попали в цель при каждом выстреле
Согласно условия задачи
\(P(A_1) = 0,6\),
\(P(A_2) = 0,7\),
\(P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.6 = 0.4\),
\(P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.7 = 0.3\).
Тогда вероятность находится по формуле суммы вероятностей $$P = P(A_1\overline{A_2}) + P(\overline{A_1}A_2) + P(A_1A_2) = $$ применим формулу произведения вероятностей $$P = P(A_1)P(\overline{A_2}) + P(\overline{A_1})P(A_2) + P(A_1)P(A_2) = $$$$ = 0.6*0.3 + 0.4*0.7 + 0.6*0.7 = 0.88 $$
2. Полная группа событий в данной задаче:
\(A_1,A_2 \quad \overline{A_1},A_2 \quad A_1,\overline{A_2} \quad  \overline{A_1}\overline{A_2}\), вероятность полной группы событий равна \(P = 1\), получаем $$P(A_1,A_2) + P(\overline{A_1},A_2) + P(A_1,\overline{A_2}) + P(\overline{A_1}\overline{A_2}) =1 =>$$$$P(A_1,A_2) + P(\overline{A_1},A_2) + P(A_1,\overline{A_2}) = 1 -  P(\overline{A_1}\overline{A_2})$$
Получили, что для нахождения искомой вероятности можно было найти вероятность $$P = 1 - P(\overline{A_1}\overline{A_2}) = 1 - 0.4*0.3 = 0.88$$