Решение: дифференциальное уравнение \( y''+2y'+3y=0 \) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения ищется в виде \(y = e^{λx}\), подставляем это решение в уравнение, для этого находим первую и вторую производную \(y' = λe^{λx}; \quad y''= λ^2e^{λx}\).
1. Составляем характеристическое уравнение.
Подставляем решение в дифференциальное уравнение $$ y''+2y'+3y=0 => λ^2e^{λx} +2λe^{λx}+3e^{λx}=0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (его можно было стазу получить путем замены переменной и ее производных на \(λ\) в соответствующей степени), найдем его корни $$λ^2 + 2λ + 3 = 0 => λ_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} =>$$$$ λ_1 = -1-\sqrt{2}i; \quad λ_2 = -1+\sqrt{2}i$$ Получили два комплексных корня, которым соответствуют два линейно независимых решения $$y_1 = e^{-x}\cos(\sqrt{2}x); \quad y_2 = e^{-x}\sin(\sqrt{2}x)$$ Общим решением дифференциального уравнения будет $$y_{одн} = C_1e^{-x}\cos(\sqrt{2}x) + C_2e^{-x}\sin(\sqrt{2}x)$$
2. Подставляем начальное условие Коши \(y(0)=0; \quad y'(0)=\sqrt{2}\)
$$y(0) = C_1e^{-0}\cos(\sqrt{2}*0) + C_2e^{-0}\sin(\sqrt{2}*0) =0 => C_1 = 0$$ при нахождении производной учтем, что \(C_1=0\)
$$y' = (C_2e^{-x}\sin(\sqrt{2}*x))' = C_2(-e^{-x}\sin(\sqrt{2}*x) + \sqrt{2}e^{-x}\cos(\sqrt{2}*x) => $$$$y'(0) = C_2(-e^{-0}\sin(\sqrt{2}*0) + \sqrt{2}e^{-0}\cos(\sqrt{2}*0) = \sqrt{2}C_2$$$$y'(0) = \sqrt{2}C_2 = \sqrt{2} => C_2=1$$
Ответ: \(y = \frac{\sin(\sqrt{2}x)}{e^{x}}\)
