Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння xy' - \frac{y}{x+1}=x \quad y(1)=0


0 Голосов
Никитенко Иго
Posted Май 20, 2014 by Никитенко Игорь Сергеевич
Категория: Дифференциальные уравнения
Всего просмотров: 4471

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння або його частинний розв’язок в задачі Коші.  


 xy' - \frac{y}{x+1}=x  \quad y(1)=0

Теги: решить дифференциальное уравнение, неоднородное линейное дифференциальное уравнение

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 21, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: преобразуем уравнение xy' - \frac{y}{x+1}=x => y' - \frac{y}{x(x+1)} = 1

Получили неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными y' - \frac{y}{x(x+1)} = 0 => \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x(x+1)} =>
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x(x+1)} =>
интегрируем обе части уравнения уравнения \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x(x+1)} =>\int \frac{dy}{y} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1})dx =>
\ln(y) = \ln(x) - \ln(x+1) + \ln(C) => y = \frac{xC}{x+1} \quad (1)

2. Представляем C = C(x).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим C(x)
находим производную y' = (\frac{xC(x)}{x+1})' = \frac{(C(x) + xC'(x))(x+1) - xC(x)}{(x+1)^2} =
=\frac{xC(x) + x^2C'(x)+C(x) + xC'(x) - xC(x)}{(x+1)^2} =  \frac{x^2C'(x)+C(x) + xC'(x)}{(x+1)^2}
подставляем в дифференциальное уравнение y' - \frac{y}{x(x+1)} = 1 => \frac{x^2C'(x)+C(x) + xC'(x)}{(x+1)^2} - \frac{xC(x)}{x(x+1)^2} = 1 =>
\frac{x^2C'(x)+ xC'(x)}{(x+1)^2} = 1 => \frac{xC'(x)}{x+1} = 1 => C'(x) = 1 + \frac{1}{x}
интегрируем обе части уравнения \int dC(x) = \int (1 + \frac{1}{x})dx => C(x) = x + \ln(x) + C_1

3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
y = \frac{xC(x)}{x+1} => y = \frac{x(x + \ln(x) + C_1)}{x+1}

4. Подставляем начальное условие Коши y(1)=0
y(1) = \frac{1(1 + \ln(1) + C_1)}{1+1} =0 => \frac{1 + C_1}{2} =0 => C_1 = -1

Ответ: y = \frac{x(x + \ln(x) -1)}{x+1}