Решение:
Конус, осевое сечение которого является равносторонним треугольником, называется равносторонним конусом.
Цилиндр, осевое сечение которого является квадратом, называется равносторонним цилиндром.
Введем обозначение, пусть
\(R_k\) - радиус основания конуса,
\(R_c\) - радиус основания цилиндра.
Площадь полной поверхности конуса равна $$S_k = S_{осн} + S_{бок}$$при этом
\(S_{осн} = \pi R_k^2\)
\(S_{бок} = \pi R_k*l\), где \(l\) - секущая конуса, т.к. конус равносторонний, то \(l = 2R_k\), получаем $$S_k = \pi R_k^2 + 2\pi R_k^2 = 3\pi R_k^2$$
Площадь полной поверхности цилиндра равна $$S_c = S_{осн} + S_{бок}$$при этом
\(S_{осн} = \pi R_c^2\)
\(S_{бок} = 2\pi R_c*h\), где \(h\) - высота цилиндра, т.к. цилиндр равносторонний, то \(h = 2R_c\), получаем $$S_c = \pi R_c^2 + 4\pi R_c^2 = 5\pi R_c^2$$
Согласно условия задачи полные площади фигур равны,т.е. $$ S_k = S_c =>$$$$ 3\pi R_k^2 = 5\pi R_c^2=> \frac{R_k}{R_c} = \sqrt{\frac{5}{3}}$$
Ответ: отношение радиусов оснований равно \(\frac{R_k}{R_c} = \sqrt{\frac{5}{3}}\)
