Найти неопределенный интеграл $$\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx$
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. разложим знаменатель на множители.
Проведем преобразования $x^2-4x-12 = (x-6)(x+2)$, получаем $\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx = \int \frac{x+18}{(x-6)(x+2)}dx$

2. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей

$$\frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{A}{x-6} + \frac{B}{x+2} => \quad (1)$$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{A(x+2) + B(x-6)}{(x-6)(x+2)}$$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при $x$ с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$x+18 = A(x+2) + B(x-6)$$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных $x$ с равными степенями $$\begin{cases} 1 = A + B\\  18 = 2A - 6B  \end{cases} => \begin{cases} A = 3 \\  B = -2 \end{cases}$$ подставляем в (1) $$\frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{3}{x-6} - \frac{2}{x+2}$$   теперь можно найти интеграл

3. Находим интеграл 

$$\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx  = \int \frac{3}{x-6}dx - \int \frac{2}{x+2}dx  \quad (2)$$  

3.1. найдем интеграл $\int \frac{3}{x-6}dx$ 
применим формулу табличного интеграла от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$,получаем  $\int \frac{3}{x-6}dx = 3\ln(x-6) +C$

3.2. найдем интеграл $\int \frac{2}{x+2}dx$ 
применим формулу табличного интеграла от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$,получаем  $\int \frac{2}{x+2}dx = 2\ln(x+2) +C$

4. Подставляем результата в (2) 

$$\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx  = \int \frac{3}{x-6}dx - \int \frac{2}{x+2}dx =$$ $$= 3\ln(x-6)  - 2\ln(x+2) + C$$  
Ответ: $\int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx =3\ln(x-6)  - 2\ln(x+2) + C$