Решение: объем призмы рассчитывается по формуле $$V_{пр} = S_{осн}h$$ согласно условия задачи, в основании лежит прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна $$S_{осн} = \frac{1}{2}ab$$
Введем обозначение: обозначим за \(x\) - сторону одного из катетов, пусть \(a = x\), тогда второй катет, согласно условия, равен \(b= 2x\), а высота призмы (т.к. призма прямая, то высота равна боковому ребру) \(h = 3x\). Исходя из данных задачи найдем стороны основания и боковое ребро. Подставим все в формулу объема призмы $$V_{пр} = S_{осн}h = \frac{1}{2}abh =\frac{1}{2}x*2x*3x = 24 => x^3 = 8 => x=2$$ Получили, что \(a = 2; \quad b = 4 \quad h = 6\)
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту призмы.
Найдем периметр основания прямоугольного треугольника \(p = a+b+c\). Длину гипотенузы получим из теоремы Пифагора \(c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}\), тогда площадь боковой поверхности равна $$S_{бок} = p*h = (a+b+c)h = (2+4+2\sqrt{5})6 = 36 + 12\sqrt{5}$$
Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна \(S_{бок} = 36 + 12\sqrt{5}\)
