Решение: найдем интеграл \( \int_{\frac{1}{2}}^{1}\arcsin(1-x)dx \)
Будем находить интеграл методом замены независимой переменной и методом интегрирования по частям:
1. Применим метод замены независимой переменной:
введем замену \(1-x = t => dx = -dt\). Найдем новые пределы интегрирования \( x = \frac{1}{2} => t = \frac{1}{2}\) и \(x = 1 => t = 0\).
Получили $$ \int_{\frac{1}{2}}^{1}\arcsin(1-x)dx = - \int_{\frac{1}{2}}^{0}\arcsin(t)dt = $$$$ = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(t)dt \quad (1)$$
2. Применяем метод интегрирования по частям:
Найдем неопределенный интеграл \( \int \arcsin(t)dt\). Применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \(dv = dt => v = t \), \(u = \arcsin(t) => du = \frac{1}{ \sqrt{1-t^2}}dt\), подставляем $$ \int \arcsin(t)dt = t\arcsin(t) - \int \frac{t}{ \sqrt{1-t^2}}dt = \quad (2)$$
Найдем интеграл \( \int \frac{t}{ \sqrt{1-t^2}}dt = \) применим метод замены независимой переменнной. Применим замену \(1-t^2 = r^2 => tdt = -rdr\), получаем \( = -\int \frac{r}{ \sqrt{r^2}}dr = -\int dr = -r\) применяем обратную замену \( r = \sqrt{1-t^2}\), получаем \( = -\sqrt{1-t^2}\). Подставляем ответ в формулу (2) $$ = t\arcsin(t) + \sqrt{1-t^2} $$
3. Применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)
Подставляем результат в (1) $$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin(t)dt = t\arcsin(t) + \sqrt{1-t^2}|_{0}^{\frac{1}{2}} = $$$$ = \frac{1}{2}\arcsin( \frac{1}{2}) + \sqrt{1-( \frac{1}{2})^2} - 0\arcsin(0) + \sqrt{1-0^2} = $$$$ = \frac{ \pi}{12} + \frac{ \sqrt{3}}{2} - 0 -1 = \frac{ \pi}{12} + \frac{ \sqrt{3}}{2} -1$$
Ответ: интеграл \( \int_{\frac{1}{2}}^{1}\arcsin(1-x)dx = \frac{ \pi}{12} + \frac{ \sqrt{3}}{2} -1\)
