Найдем несобственный интеграл: \( \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{ \sin(x)}{\sqrt[7]{cos^{2}(x)}}dx\)
Решение: если функция \(f(x)\) определена при \( a \leq x \leq b\), интегрирована на любом отрезке \([a;b-\epsilon), \quad 0 < \epsilon < b-a \) и ограничена в точке \(b\), тогда предел $$\int_a^{b - \epsilon}f(x)dx$$ при \(\epsilon \to 0\) называется несобственным интегралом второго рода: $$\int_a^bf(x) = \lim_{x \to \epsilon}\int_a^{b-\epsilon}f(x)dx$$
Исходя из определения несобственного интеграла второго рода вычислим интеграл $$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{ \sin(x)}{\sqrt[7]{cos^{2}(x)}}dx = $$ Подынтегральная функция неограниченна в окрестности точки \(x = \frac{\pi}{2}\), но она непрерывна и интегрирована на отрезке \((\frac{\pi}{2}+\epsilon;\pi]\). В соответствии с определением получаем $$ = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{\frac{\pi}{2}+\epsilon}^{\pi}\frac{ \sin(x)}{\sqrt[7]{cos^{2}(x)}}dx = $$Применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(\cos(x) = t => \sin(x)dx = -dt\), пересчитаем границы интегрирования \(x = \frac{\pi}{2} => t = 0; \quad x = \pi => t = -1\), получаем $$ = -\lim_{\epsilon \to 0}\int_{0+\epsilon}^{-1}\frac{1}{t^{\frac{2}{7}}}dt = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = -\lim_{\epsilon \to 0} \frac{-1}{1-\frac{2}{7}}t^{1-\frac{2}{7}}|_{0+\epsilon}^{-1} = -\frac{7}{5}\lim_{\epsilon \to 0} t^{\frac{5}{7}}|_{0+\epsilon}^{-1} = $$$$ =-\frac{7}{5}[( -1)^{\frac{5}{7}} - \lim_{\epsilon \to 0} (0+\epsilon)^{\frac{5}{7}}] = -\frac{7}{5}( -1)^{\frac{5}{7}} $$
Ответ: \( \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{ \sin(x)}{\sqrt[7]{cos^{2}(x)}}dx = -\frac{7}{5}( -1)^{\frac{5}{7}} \)
