Найдем несобственный интеграл: \( \int_1^{\infty}\frac{4}{x(1+ \ln^2(x))}dx\)
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции \(f(x)\), непрерывной при \(a \leq x \leq \infty\) называется предел $$ \int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$
Решаем. Подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла \([1;\infty)\), соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем $$ \int_1^{\infty}\frac{4}{x(1+ln^2(x))}dx = \lim_{b \to \infty}\int_1^b\frac{4}{x(1+\ln^2(x))}dx = $$для нахождения первообразной интеграла применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(\ln(x) = t => \frac{1}{x}dx = dt\), найдем новые границы интегрирования \(x = 1 => t = 0;\quad x = \infty => t = \infty\). Применяем замену $$ = \lim_{b \to \infty}\int_0^b\frac{4}{1+t^2}dt =$$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \lim_{b \to \infty}4 arctg(t)|_0^b =4 [\lim_{b \to \infty}arctg(\infty) - arctg(0)] = 4\frac{\pi}{2} = 2\pi$$
Ответ: \( \int_1^{\infty}\frac{4}{x(1+ \ln^2(x))}dx = 2\pi \)
