Найдем интеграл: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx \)
Решение: найдем интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки \( ctg(x) = t\), тогда \(dx =- \frac{1}{1+t^2}dt \) и пересчитаем границы интегрирования:
верхняя граница \(x = \frac{\pi}{2} => t = ctg( \frac{\pi}{2}) = 0\)
нижняя граница \(x = \frac{\pi}{6} => t = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \), получаем
$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = -\int_{\sqrt{3}}^{0} t^3 \frac{1}{1+t^2}dt = $$ выделим целую часть в числителе подынтегрального выражения и поменяем местами границы интегрирования \( \int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx \) $$ = \int_{0}^{\sqrt{3}}t\frac{t^2 + 1 - 1}{1+t^2}dt = \int_{0}^{\sqrt{3}}(t - \frac{t}{1+t^2})dt = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим$$ = \frac{1}{2}t^2 - \ln(\sqrt{1 + t^2})|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}(\sqrt{3})^2 - \ln(2) = $$$$ = \frac{3}{2} - \ln(2)$$
Ответ: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = \frac{3}{2} - \ln(2) \)
