Найдем интеграл: \( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx \)
Решение: находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену \(x = \sin(t) => dx = \cos(t)dt \),
проведем перерасчет границ интегрирования:
нижняя граница \(x = \frac{1}{2} => t = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\)
верхняя граница \(x = \frac{\sqrt{3}}{2} => t = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}\)
подставляем в интеграл $$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)dt = $$$$ = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2(t)dt =$$ понизим степень косинуса, применим формулу косинуса двойного угла \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) и формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1 + \cos(2t)}{2}dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t)|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = $$$$ = \frac{1}{2}\frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin(2\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin(2\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12}$$
Ответ: \( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx = \frac{\pi}{12} \)
