Найдем интеграл: \( \int ctg ^6(\frac{x}{7})dx \)
Решение: будем решать интеграл методом замены независимой переменной, введем замену \( ctg(\frac{x}{7}) = t => -\frac{1}{ 7\sin^2(\frac{x}{7})}dx = dt => \frac{1}{ \sin^2(\frac{x}{7})}dx = -7dt\), так же учтем \( \sin^2(x) = \frac{1}{1+ctg^2(x)}\), получаем $$\int ctg ^6(\frac{x}{7})dx = \int ctg ^6(\frac{x}{7})*\frac{ \sin^2(\frac{x}{7})}{\sin^2(\frac{x}{7})}dx =$$ применим замену $$ = -7\int t^6\frac{1}{1+t^2}dt = $$ будем выделять целую часть в числителе (можно разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя) $$ = -7\int t^4\frac{t^2+1-1}{1+t^2}dt = -7\int (t^4 - \frac{t^4}{1+t^2})dt = $$$$ = -7\int (t^4 - t^2\frac{t^2+1-1}{1+t^2})dt = -7\int (t^4 - t^2 + \frac{t^2}{1+t^2})dt =$$$$ = -7\int (t^4 - t^2 + \frac{t^2+1-1}{1+t^2})dt = -7\int (t^4 - t^2 + 1 - \frac{1}{1+t^2})dt$$применим формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\) т применим формулу табличного интеграла функции арккотангенса \( \int \frac{1}{1+x^2}dx = - arcctg(x) + C\), получаем $$ = -7[\frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + t + arcctg(t)] + C = $$ применяем обратную замену \( t = ctg(\frac{x}{7})\), получаем $$ = -7[\frac{ctg^5(\frac{x}{7})}{5} - \frac{ctg^3(\frac{x}{7})}{3} + ctg(\frac{x}{7}) + arcctg(ctg(\frac{x}{7}))] + C = -7[\frac{ctg^5(\frac{x}{7})}{5} - \frac{ctg^3(\frac{x}{7})}{3} + ctg(\frac{x}{7}) + \frac{x}{7}] + C$$
Ответ: \( \int ctg ^6(\frac{x}{7})dx = -7[\frac{ctg^5(\frac{x}{7})}{5} - \frac{ctg^3(\frac{x}{7})}{3} + ctg(\frac{x}{7}) + \frac{x}{7}] + C \)
