Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}} \)
Решение: данный интеграл относится к интегралам вида \( \int R(u, \sqrt{r^2-u^2}du)\). Для его решения применяется тригонометрическая подстановка вида \(u = r\sin(t); \quad du = r\cos(t)dt => t = \arcsin(\frac{u}{r})\)
Вводим подстановку \( x = \sqrt{2}\sin(t); \quad dx = \sqrt{2}\cos(t)dt => t = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}}) \), применяем тригонометрическую подстановку $$ \int \frac{dx}{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}} = \int \frac{\sqrt{2}\cos(t)}{(2-(\sqrt{2}\sin(t))^2)\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin(t))^2}}dt = $$$$ = \int \frac{\sqrt{2}\cos(t)}{2\cos^2(t)\sqrt{2\cos^2(t)}}dt = \int \frac{1}{2\cos^2(t)}dt$$применяем формулу табличного интеграла тангенса \( \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{2}tg(t) + C = $$ применяем обратную замену \( t = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}}) \) $$ = \frac{1}{2}tg[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})] + C = \frac{1}{2}\frac{ \sin[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]}{ \sqrt{1 - \sin^2[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]}} + C$$$$ = \frac{1}{2}\frac{ \frac{x}{\sqrt{2}}}{ \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}}} + C = \frac{x}{2 \sqrt{2 -x^2}} + C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{(2-x^2) \sqrt{2-x^2}} = \frac{x}{2 \sqrt{2 -x^2}} + C\)
