Найдем интеграл: \( \int \frac{x^2dx}{\sqrt{(x^2-a^2})^5} \)
Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
1. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 2; \quad a = -1; \quad b = 1; \quad n = 2; \quad p = -\frac{5}{2}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n} = \frac{2+1}{2} - \frac{5}{2} = -1 $$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n} + b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 1 - a^2x^{-2} = t^2 => 2a^2x^{-3}dx = 2tdt => x^{-3}dx = \frac{t}{a^2}dt $$ Подставляем замену в интеграл $$ \int \frac{x^2dx}{\sqrt{(x^2-a^2})^5} = \int \frac{x^2dx}{x^5 \sqrt{(1-a^2x^{-2}})^5} = $$$$ = \int \frac{dx}{x^3 \sqrt{(1-a^2x^{-2}})^5} = \int \frac{tdt}{a^2t^5} =$$$$ = \frac{1}{a^2}\int \frac{dt}{t^4} = $$ применяем формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{x+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{a^2} \frac{1}{1-4}\frac{1}{t^3} + C = - \frac{1}{3a^2t^3} + C$$ применяем обратную замену \( t^2 =1 - a^2x^{-2} => t^2 = \frac{x^2 - a^2}{x^2}\), получаем $$ = - \frac{1}{3a^2(\frac{x^2 - a^2}{x^2})^{\frac{3}{2}}} + C = - \frac{x^3}{3a^2(x^2 - a^2)^{\frac{3}{2}}} + C $$
Ответ: \( \int \frac{x^2dx}{\sqrt{(x^2-a^2})^5} = - \frac{x^3}{3a^2(x^2 - a^2)^{\frac{3}{2}}} + C \)
