Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{x*\sqrt[3]{x^2+1}} \)
Решение:
1. Применяем метод замены независимой переменной. Вводим замену \( x^2+1 = t^3 => xdx = \frac{3}{2}t^2dt; \quad x^2 = t^3-1 \). Получаем $$ \int \frac{dx}{x*\sqrt[3]{x^2+1}} = \int \frac{x}{x^2*\sqrt[3]{x^2+1}}dx =>$$$$ = \frac{3}{2}\int \frac{t^2}{(t^3-1)*t}dt = \frac{3}{2} \int \frac{t}{t^3-1}dt = \quad (1) $$
2. Применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
рассмотрим подынтегральное выражение. Представим дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{t}{t^3-1} = \frac{t}{(t-1)(t^2+t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{Bx+C}{t^2+t+1} => \quad (2) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{t}{(t-1)(t^2+t+1)} = \frac{A(t^2+t+1) + (Bx+C)(t-1)}{(t-1)(t^2+t+1)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$t = A(t^2+t+1) + (Bx+C)(t-1) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A-C = 0\\ A - B + C = 1 \\ A+B = 0 \end{cases} => \begin{cases} C = A\\ A + A + A = 1 \\ B = -A \end{cases} => $$$$ \begin{cases} C = \frac{1}{3} \\ A = \frac{1}{3} \\ B =- \frac{1}{3} \end{cases}$$ подставляем в (2) $$ \frac{t}{(t-1)(t^2+t+1)} = \frac{1}{3}[\frac{1}{t-1} - \frac{t-1}{t^2+t+1}] $$ теперь можно найти интеграл, подставим в (1)
4. Находим интеграл $$ \frac{3}{2} \int \frac{t}{t^3-1}dt = \frac{3}{2} \int ( \frac{1}{3}[\frac{1}{t-1} - \frac{t-1}{t^2+t+1}] )dt = $$$$ = \frac{1}{2}[ \int \frac{1}{t-1}dt - \int \frac{t-1}{t^2+t+1}] dt = \quad (3)$$
найдем интеграла \( \int \frac{1}{t-1}dt \), применяем формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем \(\int \frac{1}{t-1}dt = \ln(t-1) + C \)
найдем интеграл \( \int \frac{t-1}{t^2+t+1} dt =\) представим его в виде суммы двух интегралов \( = \frac{1}{2}\int \frac{2t +1 + 1}{t^2+t+1} dt = \frac{1}{2}[\int \frac{2t +1 }{t^2+t+1} dt - \int \frac{1}{t^2+t+1} dt]\)
найдем интеграл \( \int \frac{2t +1 }{t^2+t+1} dt = = \int \frac{1 }{t^2+t+1} d(t^2+t+1) = \ln(t^2+t+1) + C \)
найдем интеграл \( \int \frac{1 }{t^2+t+1} dt =\) выделим полный квадрат в знаменателе \( \int \frac{1}{t^2+2*\frac{1}{2}t+\frac{1}{4} - \frac{1}{4}+ 1} dt = \int \frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4}} dt =\) применяем формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{ x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a})\), получаем \( = \frac{2}{\sqrt{3}}arctg(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}) + C\)
Подставляем в (3)
$$ = \frac{1}{2}[ \int \frac{1}{t-1}dt - \int \frac{t-1}{t^2+t+1}] dt = \frac{1}{2}[ \ln(t-1) - \frac{1}{2}[ \ln(t^2+t+1) - \frac{2}{\sqrt{3}}arctg(\frac{2t+1}{\sqrt{3}})] +C = $$$$ = \frac{1}{4}[2 \ln(t-1) - \ln(t^2+t+1) + \frac{2}{\sqrt{3}}arctg(\frac{2t+1}{\sqrt{3}})] +C = $$
5. Применяем обратную замену \( t^3 = x^2+1 => t = (x^2+1)^{\frac{1}{3}} \):
$$ = \frac{1}{4}[2 \ln[(x^2+1)^{\frac{1}{3}} -1] - \ln[(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+(x^2+1)^{\frac{1}{3}}+1] + \frac{2}{\sqrt{3}}arctg[\frac{2(x^2+1)^{\frac{1}{3}}+1}{\sqrt{3}}]] +C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{x*\sqrt[3]{x^2+1}} = \frac{1}{4}[2 \ln[(x^2+1)^{\frac{1}{3}} -1] - \ln[(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+(x^2+1)^{\frac{1}{3}}+1] + \frac{2}{\sqrt{3}}arctg[\frac{2(x^2+1)^{\frac{1}{3}}+1}{\sqrt{3}}]] +C\)
