Найдем интеграл: \( \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx \)
Решение: будем решать интеграл методом замены независимой переменной, введем замену из следующих соображений: для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе введем замену в степени равной наименьшему делителю двух корней второй и третей степени, т.е. \(x = t^4 => dx = 4t^3dt \), подставляем $$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx = 4 \int \frac{t^2}{t^3+1}t^3dt = $$ выделяем целую часть в числителе подынтегрального уравнения $$ = 4\int \frac{t^3+1-1}{t^3+1}t^2dt = 4[ \int t^2dt - \int \frac{t^2}{t^3+1}dt] = \quad (1)$$ Найдем интегралы отдельно:
1. найдем интеграл \(\int t^2dt \) применим формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получим $$ \int t^2dt = \frac{1}{3}t^3 + C$$
2. найдем интеграл \( \int \frac{t^2}{t^3+1}dt \) данный интеграл будем решать методом замены независимой переменной \( t^3+1 = u => 3t^2dt = du => t^2dt = \frac{du}{3} \), получаем $$\int \frac{t^2}{t^3+1}dt = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}du = $$$$ = \frac{1}{3}\ln(u) + C = \frac{1}{3}\ln( t^3+1) + C$$
3. подставляем решение в (1)
$$ = 4[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{3}\ln( t^3+1)] + С = \frac{4}{3}[t^3 - \ln( t^3+1)] + С =$$ применяем обратную замену \(x = t^4\) $$ = \frac{4}{3}[x^{\frac{3}{4}} - \ln( x^{\frac{3}{4}}+1)] + С$$
Ответ: \( \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx = \frac{4}{3}[x^{\frac{3}{4}} - \ln( x^{\frac{3}{4}}+1)] + C \)
