Найдем интеграл: \( \int \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)} dx \)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\), где \(m;n\) четные, действительно, где \(n = 4; m = -2\). Интегралы этого вида решаются методом понижения степени, т.е. путем применения тригонометрических формул \( \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}; \quad \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}; \quad \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\), получим $$ \int \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)} dx = \int \frac{(1 - \cos^2(x))^2}{ \cos^2(x)} dx = $$$$ = \int \frac{1 - 2\cos^2(x) + \cos^4(x)}{ \cos^2(x)}dx = \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx - 2 \int dx + \int \cos^2(x)dx =$$ применяем формулу табличного интеграла тангенса \( \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x) + C\), получаем $$ = tg(x) - 2x + \int \frac{1 + \cos(2x)}{2}dx = tg(x) - 2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C = $$$$ = tg(x) - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$$
Ответ: \( \int \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)} dx = tg(x) - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \)
