Найдем интеграл: \( \int \frac{\cos(x)}{1+ \cos(x)}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку \( t = tg(\frac{x}{2}) => \) $$ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$ применяем подстановку $$ \int \frac{\cos(x)}{1+ \cos(x)}dx = \int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2}dt = $$$$ = \int \frac{ 1-t^2}{1+t^2 +1-t^2} \frac{2}{1+t^2}dt = \int \frac{ 1-t^2}{1+t^2} dt = $$ выделяем целую часть в числителе подынтегрального выражения $$ = - \int \frac{ t^2 +1 - 2}{1+t^2} dt = $$$$ = - \int dt + 2\int \frac{ 1}{1+t^2} dt = -t + 2arctg(t) + C$$ применяем обратную замену \( t = tg(\frac{x}{2}) \), получаем $$ = - tg(\frac{x}{2}) + 2arctg(tg(\frac{x}{2})) + C = - tg(\frac{x}{2}) + 2\frac{x}{2} + C = $$$$ = x - tg(\frac{x}{2}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{\cos(x)}{1+ \cos(x)}dx = x - tg(\frac{x}{2}) + C\)
