Найдем интеграл: \( \int tg^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}) dx \)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^n(x)\cos^n(x)dx\), где \(n\) нечетное, действительно \( \frac{ \sin^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})}{\sin^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})}\), где \(n = 3; m = -3\). Интегралы этого вида решаются методом замены \( t = \cos(x)\), в данном случае введем замену
$$t = \cos(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}) => dt = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})dx =>-2 dt = \sin(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})dx$$ подставляем $$ \int tg^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}) dx = \int \frac{ \sin^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})}{ \cos^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})} dx =$$$$ = -2\int \frac{ 1-t^2}{ t^3} dt = -2[ \int \frac{ 1}{ t^3} dt - \int \frac{1}{ t} dt] = $$ применяем формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\) и формулу логарифма \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\)$$ = -2[ \frac{1}{-3+1} t^{-3+1} - \ln(t)] +C = \frac{1}{t^{2}} +2 \ln(t) +C$$ применяем обратную замену \( t = \cos(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})\)$$ = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})} + 2 \ln(\cos(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}))+C $$
Ответ: \( \int tg^3(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}) dx = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4})} + 2 \ln(\cos(\frac{x}{2}+\frac{ \pi}{4}))+C \)
