Найдем интеграл: \( \int \frac{ 7x-13}{x^3-2x^2+5x}dx\)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. разложим знаменатель на множители.
Проведем преобразования \(x^3-2x^2+5x = x(x^2-2x+5)\)
2. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+5} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = \frac{A(x^2-2x+5) + Bx^2+ Cx}{x(x^2-2x+5)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$ 7x-13 = Ax^2-2Ax+5A + Bx^2+ Cx $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} 0 = A + B\\ 7 = -2A +C \\ -13 = 5A \end{cases} => \begin{cases} B = \frac{13}{5} \\ C = \frac{9}{5} \\ A = -\frac{13}{5} \end{cases} $$ подставляем в (1) $$ \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = -\frac{13}{5x} + \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)} $$ теперь можно найти интеграл
3. Находим интеграл $$ \int \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)}dx = - \int \frac{13}{5x}dx + \int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx = \quad (2)$$
3.1. найдем интеграл \( \int \frac{13}{5x}dx \)
применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем \( \int \frac{13}{5x}dx = \frac{13}{5}\ln(x) +C \)
3.2. найдем интеграл \( \int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx \)
выделим полный квадрат в знаменателе \(x^2-2x+5 = x^2-2x+1+4 = (x-1)^2+2^2\)
подставляем в интеграл $$ \int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx = \int \frac{13x+9}{5((x-1)^2+2^2)}dx = $$$$ = \int \frac{13x}{5((x-1)^2+2^2)}dx + \int \frac{9}{5((x-1)^2+2^2)}dx = $$
проведем преобразования интеграла \( \int \frac{13x}{5((x-1)^2+2^2)}dx = \frac{13}{5}\int \frac{x-1+1}{(x-1)^2+2^2}dx \), получаем $$ = \frac{13}{5} \int[ \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2} +\frac{1}{(x-1)^2+2^2}]dx + \frac{9}{5}\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx =$$$$ = \frac{13}{5} \int \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2}dx + \frac{22}{5}\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx =$$
3.2.1. найдем интеграл \( \int \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2}dx \)
находить интеграл будем методом замены независимой переменной \((x-1)^2 = t => 2(x-1)dx = dt\), подставляем в интеграл \( \int \frac{1}{2}\frac{1}{t+2^2}dt\).
Применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем \( \int \frac{1}{2}\frac{1}{t+2^2}dt = \frac{1}{2}\ln(t+2^2) +C \). Применяем обратную замену \((x-1)^2 = t\), получаем \( = \frac{1}{2}\ln(t+2^2) +C = \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+5) +C\)
3.2.2. найдем интеграл \( \int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx \)
Применим формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a}) + C\),получаем \( \int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx = \frac{1}{2} arctg( \frac{x-1}{2}) +C \).
4. Подставляем результата в (2)
$$ \int \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)}dx = - \frac{13}{5}\ln(x) + \frac{13}{5} \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+5) + \frac{22}{10} arctg( \frac{x-1}{2}) +С = $$$$ = \frac{1}{10}[13(- 2\ln(x) + \ln(x^2-2x+5)) + 22 arctg(x-2)] +С $$
Ответ: \( \int \frac{ 7x-13}{x^3-2x^2+5x}dx = \frac{1}{10}[13(- 2\ln(x) + \ln(x^2-2x+5)) + 22 arctg(x-2)] +С\)
