Найти неопределённый интеграл $$\int\frac{ 7x-13}{x^3-2x^2+5x}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{ 7x-13}{x^3-2x^2+5x}dx$
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. разложим знаменатель на множители.
Проведем преобразования $x^3-2x^2+5x = x(x^2-2x+5)$

2. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей

$$\frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+5} => \quad (1)$$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = \frac{A(x^2-2x+5) + Bx^2+ Cx}{x(x^2-2x+5)}$$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при $x$ с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$7x-13 = Ax^2-2Ax+5A + Bx^2+ Cx$$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных $x$ с равными степенями $$\begin{cases} 0 = A + B\\  7 = -2A +C \\  -13  = 5A  \end{cases} => \begin{cases} B = \frac{13}{5} \\  C = \frac{9}{5}  \\  A = -\frac{13}{5} \end{cases}$$ подставляем в (1) $$\frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)} = -\frac{13}{5x} + \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}$$   теперь можно найти интеграл

3. Находим интеграл 

$$\int \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)}dx  = - \int  \frac{13}{5x}dx + \int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx = \quad (2)$$  

3.1. найдем интеграл $\int  \frac{13}{5x}dx$ 
применим формулу табличного интеграла от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$,получаем  $\int  \frac{13}{5x}dx = \frac{13}{5}\ln(x) +C$

3.2. найдем интеграл $\int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx$ 
выделим полный квадрат в знаменателе $x^2-2x+5 = x^2-2x+1+4 = (x-1)^2+2^2$
подставляем в интеграл

$$\int \frac{13x+9}{5(x^2-2x+5)}dx = \int \frac{13x+9}{5((x-1)^2+2^2)}dx  =$$ $$= \int \frac{13x}{5((x-1)^2+2^2)}dx + \int \frac{9}{5((x-1)^2+2^2)}dx =$$
проведем преобразования интеграла  $\int \frac{13x}{5((x-1)^2+2^2)}dx = \frac{13}{5}\int \frac{x-1+1}{(x-1)^2+2^2}dx$, получаем $$= \frac{13}{5} \int[ \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2} +\frac{1}{(x-1)^2+2^2}]dx + \frac{9}{5}\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx =$$ $$= \frac{13}{5} \int \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2}dx + \frac{22}{5}\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx  =$$

3.2.1. найдем интеграл $\int \frac{x-1}{(x-1)^2+2^2}dx$ 
находить интеграл будем методом замены независимой переменной $(x-1)^2 = t => 2(x-1)dx = dt$, подставляем в интеграл $\int \frac{1}{2}\frac{1}{t+2^2}dt$.
Применим формулу табличного интеграла от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$,получаем  $\int \frac{1}{2}\frac{1}{t+2^2}dt = \frac{1}{2}\ln(t+2^2) +C$. Применяем обратную замену $(x-1)^2 = t$, получаем $= \frac{1}{2}\ln(t+2^2) +C = \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+5) +C$

3.2.2. найдем интеграл $\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx$ 
Применим формулу табличного интеграла $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a}) + C$,получаем  $\int \frac{1}{(x-1)^2+2^2}dx = \frac{1}{2} arctg( \frac{x-1}{2}) +C$.  

4. Подставляем результата в (2) 

$$\int \frac{7x-13}{x(x^2-2x+5)}dx  = - \frac{13}{5}\ln(x) + \frac{13}{5} \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+5) + \frac{22}{10} arctg( \frac{x-1}{2}) +С =$$ $$= \frac{1}{10}[13(- 2\ln(x) +  \ln(x^2-2x+5)) + 22 arctg(x-2)] +С$$  
Ответ: $\int \frac{ 7x-13}{x^3-2x^2+5x}dx = \frac{1}{10}[13(- 2\ln(x) +  \ln(x^2-2x+5)) + 22 arctg(x-2)] +С$