Найдем интеграл: \( \int \ln^2(x)dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = \ln^2(x) => du = 2\frac{\ln(x)}{x}dx\) и \( dv = dx => v = \int dx = x \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int \ln^2(x)dx = x\ln^2(x) - 2\int x\frac{\ln(x)}{x}dx = x\ln^2(x) - 2\int \ln(x)dx = \quad (1)$$
Повторно применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Найдем интеграл \( \int \ln(x)dx \). Введем обозначения \( u = \ln(x) => du = \frac{1}{x}dx\) и \( dv = dx => v = \int dx = x \) получаем \( \int \ln(x)dx = x \ln(x) - \int x\frac{1}{x}dx = x \ln(x) - \int dx = x \ln(x) - x \)
подставляем в (1)$$ \int \ln^2(x)dx = x\ln^2(x) - 2(x \ln(x) - x) => $$$$ \int \ln^2(x)dx = x (\ln^2(x) - 2\ln(x) + 2)$$
Ответ: \( \int \ln^2(x)dx = x (\ln^2(x) - 2\ln(x) + 2) + C \)
