Найдем интеграл: \( \int e^x\cos(2x)dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = \cos(2x) => du = -2\sin(2x)dx\) и \( dv = e^xdx => v = \int e^xdx = e^x \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int e^x\cos(2x)dx = e^x\cos(2x) + 2\int e^x\sin(2x)dx = \quad $$
Повторно применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Найдем интеграл \(\int e^x\sin(2x)dx\). Введем обозначения \( u = \sin(2x) => du = 2\cos(2x)dx\) и \( dv = e^xdx => v = \int e^xdx = e^x \) получаем \( \int e^x\sin(2x)dx = e^x\sin(2x) - 2\int e^x\cos(2x)dx \)
подставляем в (1)$$ \int e^x\cos(2x)dx = e^x\cos(2x) + 2(e^x\sin(2x) - 2\int e^x\cos(2x)dx) => $$$$ \int e^x\cos(2x)dx = e^x\cos(2x) + 2e^x\sin(2x) - 4\int e^x\cos(2x)dx =>$$$$ 5\int e^x\cos(2x)dx = e^x\cos(2x) + 2e^x\sin(2x) => $$$$ \int e^x\cos(2x)dx = e^x\frac{\cos(2x) + 2\sin(2x)}{5}$$
Ответ: \( \int e^x\cos(2x)dx = e^x\frac{\cos(2x) + 2\sin(2x)}{5}+ C \)
