Найдем интеграл: \( \int\frac{x}{2}5^xdx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = x => du = dx\) и \( dv = 5^xdx => v = \int 5^xdx = \frac{5^x}{\ln(5)} \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int\frac{x}{2}5^xdx = \frac{1}{2}[x \frac{5^x}{\ln(5)} - \int \frac{5^x}{\ln(5)}dx] = $$$$ = \frac{1}{2}[x\frac{5^x}{\ln(5)} - \frac{5^x}{ \ln^2(5)}] + C = 5^x\frac{x\ln(5)- 1}{2\ln^2(5)} + C$$
Ответ: \( \int\frac{x}{2}5^xdx = 5^x\frac{x\ln(5)- 1}{2\ln^2(5)} + C \)
