Найдем интеграл: \( \int \frac{e^xdx}{e^{2x}-6e^x+15} \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( e^x = t => e^xdx = dt \), подставояем $$\int \frac{e^xdx}{e^{2x}-6e^x+15} = \int \frac{1}{t^2-6t+15}dt = $$ выделим полный квадрат в знаменателе \( t^2-6t+15 = t^2-2*3t +9 -9 +15 = (t-3)^2 + 6\), подставляем $$ = \int \frac{1}{(t-3)^2 + 6}dt = $$ применяем формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{arctg(\frac{x}{a})}{a} + C\), получаем $$ = \frac{arctg(\frac{t-3}{\sqrt{6}})}{\sqrt{6}} + C = $$ применяем обратную замену \( t =e^x\), получаем $$ = \frac{arctg(\frac{e^x-3}{\sqrt{6}})}{\sqrt{6}} + C$$
Ответ: \( \int \frac{e^xdx}{e^{2x}-6e^x+15} = \frac{arctg(\frac{e^x-3}{\sqrt{6}})}{\sqrt{6}} + C \)
