Найдем интеграл: \( \int \frac{ 3x-1}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( 6-2x-3x^2 = t => -2(1 + 3x)dx = dt => (1 + 3x)dx = -\frac{1}{2}dt \), проведем преобразования, числитель подынтегрального выражения приведем к виду \( (1 + 3x)dx \) $$ \int \frac{ 3x-1}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = \int \frac{ 3x +1 - 2}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = $$$$ = \int \frac{ 3x +1}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx - \int \frac{ 2}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = \quad (1)$$
1. найдем интеграл \( \int \frac{ 3x +1}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = \) применим замену, получим \( = - \int \frac{1}{2\sqrt{t}}dt = -\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{2}} t^{1-\frac{1}{2}} + C = - t^{\frac{1}{2}} + C\) применим обратную замену \( t = 6-2x-3x^2 \), получим \( = - \sqrt{6-2x-3x^2} + C\)
2. найдем интеграл \( \int \frac{ 2}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = \) находить интеграл будем методом выделения полного квадрата в знаменателе подынтегрального выражения \( = \int \frac{ 2}{\sqrt{- 3(x^2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - 2)}}dx = \int \frac{ 2}{\sqrt{3}\sqrt{ \frac{19}{9}- (x + \frac{1}{3})^2 }}dx\) применяем формулу табличного интеграла функции арксинуса \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C\), получаем \( = \frac{2}{ \sqrt{3}} \arcsin( \frac{x + \frac{1}{3}}{ \frac{ \sqrt{19}}{3}})+ C = \frac{2}{ \sqrt{3}} \arcsin( \frac{3x + 1}{\sqrt{19}})+ C\)
3. результаты подставляем в (1)
$$ = - \sqrt{6-2x-3x^2} - \frac{2}{ \sqrt{3}} \arcsin( \frac{3x + 1}{\sqrt{19}})+ C$$
Ответ: \( \int \frac{ 3x-1}{\sqrt{6-2x-3x^2}}dx = - \sqrt{6-2x-3x^2} - \frac{2}{ \sqrt{3}} \arcsin( \frac{3x + 1}{\sqrt{19}})+ C \)
