Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{x(7- \ln^2(7x))}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( \ln(7x) = t => \frac{1}{x}dx = dt \), подставляем $$ \int \frac{1}{x(7- \ln^2(7x))}dx = \int \frac{1}{7- t^2}dt = $$ представляем подынтегарльное выражение в виде суммы двух дробей \( \frac{1}{7- t^2} = \frac{1}{(\sqrt{7}- t)(\sqrt{7}+ t)} = \frac{1}{2\sqrt{7}}[\frac{1}{(\sqrt{7}- t} + \frac{1}{\sqrt{7}+ t}] \), подставляем в интеграл $$ = \int ( \frac{1}{2\sqrt{7}}[\frac{1}{(\sqrt{7}- t} + \frac{1}{\sqrt{7}+ t})dt = \frac{1}{2\sqrt{7}} [\int \frac{1}{\sqrt{7}- t}dt + \int \frac{1}{\sqrt{7}+ t}dt] = $$применяем формулу табличного интеграла логарифмической функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{-\ln(\sqrt{7}- t) + \ln(\sqrt{7}+ t)}{2\sqrt{7}} + C$$ применяем обратную замену \( t = \ln(7x) \), получаем $$ = \frac{ \ln(\sqrt{7}+ \ln(7x)) -\ln(\sqrt{7}- \ln(7x))}{2\sqrt{7}} + C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{x(7- \ln^2(7x))}dx = \frac{ \ln(\sqrt{7}+ \ln(7x)) -\ln(\sqrt{7}- \ln(7x))}{2\sqrt{7}} + C \)
