Найдем интеграл: \( \int \frac{ \sin(x)+ \cos(x)}{\sqrt[3]{ \sin(x)- \cos(x)}}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( \sin(x)- \cos(x) = t => (\cos(x) + \sin(x))dx = dt \), получаем $$ \int \frac{ \sin(x)+ \cos(x)}{\sqrt[3]{ \sin(x)- \cos(x)}}dx= \int \frac{1}{\sqrt[3]{ t}}dt = $$ применяем формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^{a}dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{1-\frac{1}{3}}t^{1-\frac{1}{3}} +C = \frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}} +C$$ применяем обратную замену \( t = \sin(x)- \cos(x) \), получаем $$ = \frac{3}{2}(\sin(x)- \cos(x))^{\frac{2}{3}} +C$$
Ответ: \( \int \frac{ \sin(x)+ \cos(x)}{\sqrt[3]{ \sin(x)- \cos(x)}}dx = \frac{3}{2}(\sin(x)- \cos(x))^{\frac{2}{3}} +C \)
