Найдем интеграл: \( \int \frac{ \cos(\frac{1}{x})}{x^2(3-\sin^2(\frac{1}{x}))}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( \sin( \frac{1}{x}) = t => -\frac{1}{x^2}\cos(\frac{1}{x})dx = dt => \frac{1}{x^2}\cos(\frac{1}{x})dx = -dt \), получаем $$ \int \frac{ \cos(\frac{1}{x})}{x^2(3-\sin^2(\frac{1}{x}))} dx= - \int \frac{1}{(3-t^2)}dt$$ представляем дробь в виде суммы двух дробей \( \frac{1}{(3-t^2)} = \frac{1}{(\sqrt{3}-t)(\sqrt{3}+t)} = \frac{1}{2\sqrt{3}}[\frac{1}{\sqrt{3}+t} + \frac{1}{\sqrt{3}-t}]\) подставляем $$ = - \int \frac{1}{2\sqrt{3}}[\frac{1}{\sqrt{3}+t} + \frac{1}{\sqrt{3}-t}]dt = - \frac{1}{2\sqrt{3}}[ \int \frac{1}{\sqrt{3}+t}dt - \int \frac{1}{t - \sqrt{3}}]dt = $$$$ = -\frac{1}{2\sqrt{3}}[ \ln(\sqrt{3}+t) - \ln(t - \sqrt{3})] +C = $$ применяем обратную замену \( t = \sin( \frac{1}{x})\), получаем $$ = \frac{\ln(\sin( \frac{1}{x})- \sqrt{3}) - \ln(\sin( \frac{1}{x}) + \sqrt{3}) }{2\sqrt{3}} +C $$
Ответ: \( \int \frac{ \cos(\frac{1}{x})}{x^2(3-\sin^2(\frac{1}{x}))}dx = \frac{\ln(\sin( \frac{1}{x})- \sqrt{3}) - \ln(\sin( \frac{1}{x}) + \sqrt{3}) }{2\sqrt{3}} +C \)
