Найти неопределенный интеграл $$ \int \frac{e^{5x}}{1-4e^{5x}}dx $$

Найдем интеграл: \(  \int \frac{e^{5x}}{1-4e^{5x}}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для для нахождения интеграла. Введем замену \(1-4e^{5x} = t => -20e^{5x}dx = dt => e^{5x}dx = -\frac{1}{20}dt\), подставляем $$ \int \frac{e^{5x}}{1-4e^{5x}}dx = -\frac{1}{20}\int \frac{1}{t}dt = -\frac{1}{20} \ln(t) +C  $$ применим обратную замену \(t = 1-4e^{5x} \) $$ = -\frac{1}{20} \ln(1-4e^{5x}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{e^{5x}}{1-4e^{5x}}dx  = -\frac{1}{20} \ln(1-4e^{5x}) + C \)