Приведем данный интеграл к табличному \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} \), для этого в знаменателе выделим полный квадрат $$5 + t - t^2 = 5 - (t^2-2*\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} + \frac{1}{4})) = 5 - (t-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} - (t - \frac{1}{2})^2$$полученное выражение подставим в интеграл $$\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = \int \frac{t}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - (t - \frac{1}{2})^2}} dt = \,\, (1)$$введем замену \( t - \frac{1}{2} = x => t = x + \frac{1}{2}, dx = dt\), подставим $$= \int \frac{x + \frac{1}{2}}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx = \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx$$$$ = \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{x}{\sqrt\frac{21}{4}}} = \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2x}{\sqrt{21}}} \, \, (2) $$найдем интеграл $$ \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx = $$ введем замену \( \frac{21}{4} - x^2 = u^2 => -2xdx = 2udu => -xdx = udu\), подставим $$ = \int \frac{-u }{ \sqrt{u^2}} du = - \int du = - u = - \sqrt {\frac{21}{4} - x^2} $$подставим в (2) $$ = - \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2x}{\sqrt{21}}} =>$$ введем обратную замену и подставим в \((1)\)$$\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2(t-\frac{1}{2})}{\sqrt{21}}} = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2t - 1}{\sqrt{21}}} $$
Ответ: $$\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2t - 1}{\sqrt{21}}} + С$$
