Найдем интеграл: \( \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx \)
Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 1; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{2}{3}; \quad p = -\frac{1}{2}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n} = \frac{1+1}{ \frac{2}{3}} = 3 $$ получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) $$ a+bx^n = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 1+x^{ \frac{2}{3}} = t^2 => \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}dx = 2tdt => $$$$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}dx = 3tdt; \quad x^{ \frac{2}{3}} = t^2 - 1$$Подставляем замену в интеграл $$ \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-1/2}dx = \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{1+x^{\frac{2}{3}}}}dx = $$$$ = 3\int \frac{(t^2-1)^2}{t}tdt = 3 \int (t^2-1)^2dt = $$$$ = 3\int (t^4-2t^2+1)dt = 3( \frac{1}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3 + t)$$$$ = \frac{t}{5}( 3t^4 - 10t^2 + 15) + C$$ применяем обратную замену \( t = \sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}} \), получаем $$ = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3(1+x^{ \frac{2}{3}})^2 - 10(1+x^{ \frac{2}{3}}) + 15) + C= $$$$ = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3+6x^{ \frac{2}{3}}+3x^{ \frac{4}{3}} - 10-10x^{ \frac{2}{3}} + 15) + C= $$$$ = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C$$
Ответ: \( \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C\)
