Найти неопределенный интеграл $$\int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx$$

Найдем интеграл: $\int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx$

Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида

$$\int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с  формулой интеграла от биномиального дифференциала $m = 1; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{2}{3}; \quad p = -\frac{1}{2}$. Проверим $$\frac{m+1}{n}  = \frac{1+1}{ \frac{2}{3}} = 3$$ получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) $$a+bx^n = t^k$$ где $k$ -  знаменатель дроби $p$, т.е. $k = 2$, получили замену $$1+x^{ \frac{2}{3}} = t^2 => \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}dx = 2tdt =>$$ $$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}dx = 3tdt; \quad x^{ \frac{2}{3}} = t^2 - 1$$ Подставляем замену в интеграл $$\int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-1/2}dx = \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{1+x^{\frac{2}{3}}}}dx =$$ $$= 3\int \frac{(t^2-1)^2}{t}tdt = 3 \int (t^2-1)^2dt =$$ $$= 3\int (t^4-2t^2+1)dt = 3( \frac{1}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3 + t)$$ $$= \frac{t}{5}( 3t^4 - 10t^2 + 15) + C$$ применяем обратную замену $t = \sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}$, получаем $$= \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3(1+x^{ \frac{2}{3}})^2 - 10(1+x^{ \frac{2}{3}}) + 15) + C=$$ $$= \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3+6x^{ \frac{2}{3}}+3x^{ \frac{4}{3}} - 10-10x^{ \frac{2}{3}} + 15) + C=$$ $$= \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C$$

 Ответ: $\int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx  = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C$