Примет с корнями решаются методом преобразований и возведения в квадрат.
$$ 1) \quad \sqrt{( \sqrt{a}+2)^{2}-8 \sqrt{a}}+ \sqrt{( \sqrt{a}-2)^{2}+8 \sqrt{a}}= \sqrt{a+4 \sqrt{a}+4-8 \sqrt{a}}+ \sqrt{a-4 \sqrt{a}+4+8 \sqrt{a}}=$$$$ = \sqrt{a-4 \sqrt{a}+4}+\sqrt{a+4 \sqrt{a}+4}=\sqrt{(\sqrt{a}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2}= | \sqrt{a}-2|+| \sqrt{a}+2| $$ т.к.\( \sqrt{a}\geq 0 => \sqrt{a}+2 > 0 \),то \(| \sqrt{a}+2|= \sqrt{a}+2\)
получили
$$(|\sqrt{a}-2|+|\sqrt{a}+2| = |\sqrt{a}-2|+\sqrt{a}+2 =\left\{\begin{matrix} \sqrt{a}-2+\sqrt{a}+2 , \sqrt{a}-2 \geq 0 \\ -\sqrt{a}+2+\sqrt{a}+2 , \sqrt{a}-2 < 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{a} , \sqrt{a} \geq 2 \\ 4 , \sqrt{a} < 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{a} , a \geq 4 \\ 4 , 0\leq a < 4 \end{matrix}\right.$$
$$ 2) \quad \sqrt{a+2\sqrt{a+4}+5} +\sqrt{a-2\sqrt{a+4}+5}=$$$$ = \sqrt{a+4+2\sqrt{a+4}+1} +\sqrt{a+4-2\sqrt{a+4}+1}= \sqrt{(\sqrt{a+4}+1)^2} +\sqrt{(\sqrt{a+4}-1)^2}=$$
$$ = |\sqrt{a+4}+1| +|\sqrt{a+4}-1|=$$т.к. \(\sqrt{a+4}>0\), то \(\sqrt{a+4}+1 >0\) всегда =>$$|\sqrt{a+4}+1| +|\sqrt{a+4}-1|=\sqrt{a+4}+1 +|\sqrt{a+4}-1|=\left\{\begin{matrix} \sqrt{a+4}+1 +\sqrt{a+4}-1 , \sqrt{a+4}-1 \geq 0 \\ \sqrt{a+4}+1 -\sqrt{a+4}+1 , \sqrt{a+4}-1 < 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{a+4} , \sqrt{a+4} \geq 1 \\ 2 , \sqrt{a+4} < 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{a+4} , a+4 \geq 1 \\ 2 , a+4 < 1\\a+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{a+4} , a \geq -3 \\ 2 , a < -3\\a \geq -4 \end{matrix}\right. $$
$$ 3) \quad \sqrt[3]{5-2\sqrt{6}} * \sqrt[6]{49-20\sqrt{6}}=\sqrt[6]{(5-2\sqrt{6}})^2 * \sqrt[6]{49-20\sqrt{6}}=$$$$=\sqrt[6]{(5-2\sqrt{6})^2 * (49-20\sqrt{6})}=\sqrt[6]{(25-20\sqrt{6}+24) * (49-20\sqrt{6})}=$$$$=\sqrt[6]{(49-20\sqrt{6}) * (49-20\sqrt{6})}=\sqrt[6]{(49-20\sqrt{6})^2}=\sqrt[3]{49-20\sqrt{6}}$$$$=\sqrt[3]{25-20\sqrt{6}+24)}=\sqrt[3]{(5-2\sqrt{6})^2}=(5-2\sqrt{6})^\frac{2}{3}$$
