Найдем интеграл: \( \int \frac{(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt[3]{x}} dx\)
Решение: для нахождения интеграла применим формулу куба суммы \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2+b^3\), получим $$ \int \frac{(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt[3]{x}} dx = \int \frac{1+3x^{\frac{1}{2}} + 3x + x^{\frac{3}{2}}}{x^{ \frac{1}{3}}}dx = $$применим формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\) $$ = \int (x^{ -\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{1}{6}} + 3x^{\frac{2}{3}} + x^{ \frac{7}{6}})dx = $$$$ = \frac{3}{2}x^{ \frac{2}{3}} + \frac{18}{7}x^{ \frac{7}{6}} + \frac{9}{5}x^{ \frac{5}{3}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{6}} + C$$
Ответ: \( \int \frac{(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt[3]{x}} dx = \frac{3}{2}x^{ \frac{2}{3}} + \frac{18}{7}x^{ \frac{7}{6}} + \frac{9}{5}x^{ \frac{5}{3}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{6}} + C \)
