Исследуем функцию \( y = \frac{x+1}{x^2-4} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2-4 \ne 0 => x \ne \pm 2 \). ОДЗ $$D_f=(-\infty; -2) \cup (-2;2 ) \cup ( 2 ;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва \(x = -2; \quad x=2 \)
исследуем точку \( x= -2 \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -2^{+0}} \frac{x+1}{x^2-4}= + \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -2^{-0}} \frac{x+1}{x^2-4}= - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
исследуем точку \( x= 2 \). Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 2^{+0}} \frac{x+1}{x^2-4}= + \infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 2^{-0}} \frac{x+1}{x^2-4}= - \infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = -2 \) является вертикальной асимптотой.
Прямая \(x = 2 \) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{-x+1}{(-x)^2-4} \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x+1}{x^2-4} = 0 =>x = -1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (-1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x =-1\) и две точки разрыва \(x \pm 2 \), т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -2) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = \frac{x+1}{x^2-4} < 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \(( -2; -1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1,5) = \frac{x+1}{x^2-4} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((-1; 2) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{x+1}{x^2-4} < 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((2; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{x+1}{x^2-4} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{x+1}{x^2-4} = -\frac{1}{4} \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; -\frac{1}{4})\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x+1}{x^2-4} )'= \frac{x^2-4 - 2x(x+1)}{(x^2-4)^2} = $$$$ = - \frac{x^2+2x+4}{(x^2-4)^2}$$ приравняем к 0 $$ - \frac{x^2+2x+4}{(x^2-4)^2} =0 => $$ функция не имеет критических (стационарных) точек.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек, поэтому монотонность будем анализировать на интервалах ОДЗ. Из формулы производной следует, что при всех значениях \(x\) первая производная \(f'(x) < 0\), т.е. на всем ОДЗ функция убывает.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (- \frac{x^2+2x+4}{(x^2-4)^2})'= - \frac{(2x+2)(x^2-4)^2 - 2*2x(x^2-4)(x^2+2x+4)}{(x^2-4)^4} = $$$$ = 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3} = 0 => x = -1 -\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3^2} \approx -0.36$$ точка возможного перегиба функция.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба.
интервал \((-\infty; -2)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-3) = 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-2; -0.36 )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-1) = 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \(( -0.36; 2 )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(0) = 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 2; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = 2 \frac{x^3+3x^2+12x+4}{(x^2-4)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -0.36 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Найдем значение функции в точку перегиба \(f( -0.36) = \frac{x+1}{x^2-4} \approx -0.16\)
Координаты точки перегиба \(( -0.36; -0.16 )\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты \(x \pm -2\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = \frac{x+1}{x^2-4} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x+1}{x(x^2-4)} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = 0\) функция наклонной асимптоты не имеет.
Наклонной асимптоты нет
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to \infty}\frac{x+1}{x^2-4}= 0 $$
Уравнение горизонтальной асимптоты \(y= 0\).
Определим, с какой стороны приближается график функции к горизонтальной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x+1}{x^2-4} = +0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty}\frac{x+1}{x^2-4} = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
