Решим дифференциальное уравнение: \( xy'+y=x^2+3x+2 \quad (1)\)
Решение: решение дифференциального уравнения будем искать методом Бернулли:
План-схема решения дифференциального уравнения методом Бернулли
1. вводим замену \( y = uv\), где \(u(x),v(x)\) - дифференцируемые по \(x\) функции
2. находим производную \( y' = u'v + uv'\)
3. подставляем полученные выражения \(y,y'\) - в дифференциальное уравнение (1) $$ x(u'v + uv')+ uv=x^2+3x+2 =>$$ группируем члены путем выноса за скобки \(u(x)\) и \(v(x)\) $$ v(xu' + u) + xuv' = x^2+3x+2 \quad (2)$$
4. решаем любое однородное дифференциальное уравнение в скобках и находим неизвестную функцию \(u(x)\) или \(v(x)\), например возьмем $$ xu' + u = 0 => x\frac{du}{dx} =-u $$ получили однородное линейное дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными, решим его $$ \frac{du}{u} =-\frac{1}{x}dx$$ интегрируем обе части равенства $$ \int \frac{du}{u} =- \int \frac{1}{x}dx +\ln(C_1) $$$$\ln(u) = -\ln(x) + \ln(C_1)=>$$ потенцируем обе части равенства $$ u = \frac{C_1}{x}$$
5. подставляем полученное решение в (2), при этом учитываем, что выражение в скобках согласно п.4 равно 0
$$ v(0) + x\frac{C_1}{x}v' = x^2+3x+2 => v'C_1 = x^2+3x+2$$ получили однородное линейное дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными $$ = \frac{dv}{dx} = \frac{x^2+3x+2}{C_1} => \int dv = \int \frac{x^2+3x+2}{C_1}dx $$$$ v = \frac{1}{C_1}( \frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}+2x) +C_2$$
6. находим окончательное решение
$$y = uv => y = [ \frac{1}{C_1}( \frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}+2x) +C_2]\frac{C_1}{x} => y = \frac{x^2}{3}+\frac{3x}{2}+2 +\frac{C_2}{x}$$
Ответ: решением дифференциального уравнения\( xy'+y=x^2+3x+2 \) является \( y = \frac{x^2}{3}+\frac{3x}{2}+2 + \frac{C_2}{x} \)
