Решение: это типовая задача вида: найти "наибольший объем" , найти "наибольшую площадь". Воспользуемся методикой, описанной в этом блоге и решим задачу
1. Введем обозначения \(r\) - радиус окружности основания цилиндра, \(h\)- высота цилиндра. Объем цилиндра будем находить по формуле $$V_{ц} = S_{осн}h = \frac{ \pi r^2}{4}h$$
2. Запишем периметр прямоугольника, который является осевым сечением цилиндра. Одна сторона этого прямоугольника равна \(a = h\), вторая сторона равна \(b = 2r\), тогда периметр равен $$P_{прям} = 2(a + b) = 2(h+2r)$$
3. В уравнении объема цилиндра есть две переменные. Выразим одну переменную через другую, чтобы функция объема стала функцией одной переменной $$P_{прям} = 2(h+2r) = 12 => h+2r = 6 => h = 6 - 2r$$ Подставим уравнение для высоты \(h(r) = 6-2r\) в уравнение объема $$V_{ц}(r) = \frac{ \pi r^2}{4}h = \frac{ \pi r^2}{4}(6-2r) = \frac{ \pi r^2}{2}(3-r)$$
4. Найдем экстремум функции \(V(r)\), для этого найдем первую производную от объема и приравняем ее к нулю.
$$V'(r) = (\frac{ \pi r^2}{2}(3-r))' = - \frac{3}{2}\pi (r-2)r$$ приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки $$- \frac{3}{2}\pi (r-2)r = 0 => r_1 = 2; \quad r_2 = 0$$ Т.к. радиус окружности больше 0, то рассмотрим только точку \(r = 2\). Убедимся, что это точка максимума (экстремум). Найдем значение производной справа и слева от точки \(V'(1) = - \frac{3}{2}\pi (r-2)r = \frac{3}{2}\pi > 0\)
\(V'(3) = - \frac{3}{2}\pi (r-2)r = -\frac{9}{2}\pi < 0\)
Первая производная поменяла знак с \(+ \quad 0 \quad -\) - точка максимума.
5. Находим наибольший объем цилиндра, подставим значение экстремума в функцию объема $$V_{ц}(r) = \frac{ \pi r^2}{2}(3-r) => $$$$V_{max}(2) = \frac{ \pi 2^2}{2}(3-2) = 2\pi $$
Ответ: наибольший объем цилиндра \(V_{max} = 2\pi \)
