$$\int t \ln^3t dt$$под интегралом две функции, чтобы найти интеграл будем использовать формулу интегрирования по частям, но одна из функций не имеет табличного значения интеграла ( \(\ln t\) ), поэтому введем замену \( x = \ln t => dx = \frac{dt}{t}\), выразим \( t \) через \( x \), \( x = \ln t => t = e^x\) подставим в интеграл $$\int e^x x^3 dx$$ будем интегрировать по частям, вспомним формулу интегрирования по частям $$\int u*dv = u*v - \int v*du$$за \( u \) обозначим функцию, которая, как видно из формулы будет дифференцироваться, и при этом она должна упрощаться \( u = x^3 => du = 3x^2 dx\), а за \( v\) обозначим функцию, которую можно привести к табличной форме \( dv = e^x dx => v = \int e^x dx = e^x \). Подставим полученные выражения в интеграл $$\int e^x x^3 dx = e^x*x^3 -3 \int e^x*x^2 dx = $$ проведем такую же операцию с полученным интегралом $$ = e^x*x^3 -3( e^x*x^2 - 2 \int e^x*x dx) = e^x*x^3 -3 e^x*x^2 + 6 \int e^x*x dx $$ну и последний раз применим этот же метод $$ = e^x*x^3 -3 e^x*x^2 + 6(e^x*x - \int e^x dx) = e^x*x^3 -3 e^x*x^2 + 6e^x*x - 6e^x =$$вынесем \( e^x =t\) за скобки, выполним обратную замену и получим$$\int t \ln^3t dt = e( \ln^3t -3*\ln^2t + 6*\ln t - 6)$$
