Решим дифференциальное уравнение: \( y''+y= 4x\cos(x) \)
Решение: данное уравнение - линейной неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Общее решение состоит из суммы общего решения однородного и частичного решения неоднородного уравнения $$y_{об} = y_{од} + y_{част}(x) =>$$
1. найдем решение однородного линейного дифференциального уравнения \( y_{од}\):
рассмотрим и решим однородное уравнение $$y'' + y = 0$$ составим характеристическое уравнение $$ λ^2 + 1 = 0 => λ \pm i $$ Обще решение линейного однородного уравнения с комплексно сопряженными корнями \(λ = p \pm iq\) имеет вид \(y_{од} = C_1e^{px}\cos(qx) + C_2e^{px}\sin(qx)\), подставляем результата в формулу решения, получаем $$ y_{од} = C_1e^{0*x}\cos(1*x) + C_2e^{0*x}\sin(1*x) => y_{од} = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$$
2. найдем решение неоднородного линейного дифференциального уравнения \(y_{част}(x) \):
частичное решение неоднородного решения будем искать методом вариации произвольной постоянной, т.е. постоянные \(C_1;C_2\) подставляем в виде функций \(C_1(x); \quad C_2(x) \), получим $$ y_{част}(x) = C_1(x)\cos(x) + C_2(x)\sin(x) \quad (1) $$ Для нахождения функций \(C_1(x), C_2(x)\) получим систему $$\begin{cases} C_1'(x)\cos(x) + C_2'(x)\sin(x) =0 \\ -C_1'(x)\sin(x) + C_2'(x)\cos(x) =4x\cos(x) \end{cases} => $$ решение системы уравнений будем искать по формуле
$$C_1(x) = \int \frac{\left|\begin{array}{c}0 & \sin(x)\\ 4x\cos(x) & \cos(x)\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c} \cos(x) & \sin(x)\\ -\sin(x) & \cos(x)\end{array}\right|}dx = -\int \frac{4x\sin(x)\cos(x)}{ \cos^2(x) + \sin^2(x)}dx = $$$$ = -2\int x\sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\sin(2x) + x\cos(2x)$$
$$C_2(x) = \int \frac{\left|\begin{array}{c} \cos(x) & 0\\ -\sin(x) & 4x\cos(x) \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c} \cos(x) & \sin(x)\\ -\sin(x) & \cos(x)\end{array}\right|}dx = \int \frac{4x\cos^2(x)}{ \cos^2(x) + \sin^2(x)}dx = $$$$ = \int 4x\cos^2(x)dx = x^2 + x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)$$ подставляем решение в (1) $$y_{част}(x) = (-\frac{1}{2}\sin(2x) + x\cos(2x))\cos(x) + (x^2 + x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x))\sin(x) = x^2\sin(x) -\frac{1}{2}\sin(x) +x\cos(x)$$
3. общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения $$y_{об} = y_{од} + y_{част}(x) =>$$$$y_{об} = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + x^2\sin(x) -\frac{1}{2}\sin(x) +x\cos(x) =>$$$$ y_{об} = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + x^2\sin(x) +x\cos(x) $$
Ответ: неоднородное линейное дифференциальное уравнение \( y''+y= 4x\cos(x) \) имеет общее решение \( y_{об} = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + x^2\sin(x) +x\cos(x) \)
