Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{x(1+ \sqrt{x})}dx \)
Решение: применим метод замены переменной, введем обозначение, \( 1 + \sqrt{x} = t => \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = dt => dx = 2(t-1)dt; \quad x = (t-1)^2 \), подставляем в интеграл $$ \int \frac{2(t-1) }{(t-1)^2t}dt = \int \frac{2 }{(t-1)t}dt = 2\int ( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t})dt$$$$ = 2\int \frac{1}{t-1}dt - 2\int \frac{1}{t}dt = 2\ln(t-1) - 2\ln(t) + C$$ применяем обратную замену \( t = 1 + \sqrt{x} \), получаем $$ = 2\ln(1 + \sqrt{x} -1) - 2\ln(1 + \sqrt{x} ) + C = 2\ln( \sqrt{x}) - 2\ln(1 + \sqrt{x} ) + C = $$$$ = \ln(x) - 2\ln(1 + \sqrt{x} ) + C $$
Ответ: \( \int \frac{1}{x(1+ \sqrt{x})}dx = \ln(x) - 2\ln(1 + \sqrt{x} ) + C \)
