Найдем интеграл: \( \int(x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{ x \sqrt{3 x^3}})dx \)
Решение: применяем формулу: интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т. е. \( \int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\), получим $$ \int(x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{ x \sqrt{3 x^3}})dx = \int x^3dx + \int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{ x \sqrt{3 x^3}}dx$$ применяем формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\) и табличную формулу \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{3+1}x^{3+1} + \ln(x) + \int \frac{1}{ \sqrt{3}x^{\frac{5}{2}}}dx + C = \frac{1}{4}x^{4} + \ln(x) - \frac{2}{3\sqrt{3}x^{\frac{3}{2}}} + C$$
Ответ: \( \int(x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{ x \sqrt{3 x^3}})dx = \frac{1}{4}x^{4} + \ln(x) - \frac{2}{3\sqrt{3}x^{\frac{3}{2}}} + C \)
