Решение: из рисунка видно, что искомая фигура ограничена сверху линией \(y = 3-x\), а снизу \(y = 2^x\). Найдем точку пересечения прямых $$\begin{cases}y = 3-x\\ y = 2^x\end{cases} => \begin{cases}2^x = 2-x \\ y = 2^x\end{cases}$$$$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$ Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что \(S_{OBCD} = \int_0^1(3-x)dx\), а \(S_{OACD} = \int_0^12^xdx\). А искомая площадь \(S_{ABC} = S_{OBCD} - S_{OACD}\), т.е. искомую площадь можно представить в виде \(S = \int (f(x)-g(x))dx\), где \(f(x)\) - линия сверху, а \(g(x)\) - линия снизу . Подставляем интегралы в формулу площади $$S_{ABC} = \int_0^1 (3-x - 2^x)dx = (3x-\frac{x^2}{2} - \frac{2^x}{\ln(2)})|_0^1 = $$$$ = 3-\frac{1}{2} - \frac{2^1}{\ln(2)} - 3*0 + \frac{0}{2} + \frac{2^0}{\ln(2)} =$$$$ = \frac{5}{2} - \frac{2^1}{\ln(2)} + \frac{1}{\ln(2)} = \frac{5}{2} - \frac{1}{\ln(2)}$$
Ответ: площадь фигуры, ограниченная заданными линиями равна \(S_{ABC} = \frac{5}{2} - \frac{1}{\ln(2)} \)
