Найдем интеграл: \( \int \frac{4x^{2}+1}{(x-1)(x+2)^{2}}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого
представим дробь в виде суммы следующих дробей \( \frac{4x^{2}+1}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{4x^2+1}{(x-1)(x+2)^{2}} = \frac{A(x^2+4x+4) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)}{(x-1)(x+2)^2} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( 4x^2+1 =A(x^2+4x+4) + B(x-1)(x+2) + C(x-1) \). Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} 4A-2B-C = 1\\ 4A + B + C = 0 \\ A+B =4 \end{cases}=> \begin{cases} 4A-8 +2A-C = 1\\ 4A + 4 - A + C = 0 \\ B = 4-A \end{cases}=> \begin{cases} A = \frac{5}{9}\\ C = -\frac{17}{3} \\ B = \frac{31}{9} \end{cases}$$ подставляем в (1) \( \frac{4x^2+1}{(x-1)(x+2)^{2}} = \frac{5}{9(x-1)} + \frac{31}{9(x+2)} - \frac{17}{3(x+2)^2} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{4x^{2}+1}{(x-1)(x+2)^{2}}dx = \int ( \frac{5}{9(x-1)} + \frac{31}{9(x+2)} - \frac{17}{3(x+2)^2})dx = $$$$ = \int \frac{5}{9(x-1)}dx + \int \frac{31}{9(x+2)}dx - \int \frac{17}{3(x+2)^2} = \frac{5}{9}\ln(x-1) + \frac{31}{9}\ln(x+2) + \frac{17}{3(x+2)} + C$$
Ответ: \( \int \frac{4x^{2}+1}{(x-1)(x+2)^{2}}dx = \frac{5}{9}\ln(x-1) + \frac{31}{9}\ln(x+2) + \frac{17}{3(x+2)} + C \)
